Ich habe eine Reihe von Berechnungen zur Schaerfentiefe abgeschlossen, die ich hier gern zusammenfassen wuerde. Wir gehen in mehreren Einzelschritten vor, bis wir die (hoffentlich korrekte) Formel fuer den Schaerfetiefebereich eines Beobachters mit Fernglas erreicht haben.
1) Akkommodationsbreite des Auges: Wir nehmen an, dass das Auge einen Gegenstand im Unendlichen scharf sieht. Die minimale Akkommodationsentfernung definiert dann die Akkommodationsbreite 'delta' in Dioptrie (dpt), und zwar wie folgt: Liegt der Nahpunkt des Auges bei 20cm, dann entspricht das 0.2m oder 1/0.2 = 5 dpt (Dioptrie ist ja in reziproke Meter angegeben). Diese Akkommodationsbreite ist altersabhaengig: Ein Kleinkind hat im Schnitt delta = 14 dpt, ein 25-jaehriger delta = 10 dpt, ein 50-jaehriger im Schnitt delta = 2 dpt.
2) Tiefenmassstab: Das virtuelle Bild eines Gegenstands in Abstand x erscheint (bei Fokussierung des Fernglases auf Unendlich) im Abstand x/T, wobei T = m*m der Tiefenmassstab ist (m ist die Vergroesserung). Kann ein 25-jaehriger (delta = 10) mit dem Auge einen Gegenstand in 10cm Entfernung scharf sehen, so ist die minimale Entfernung des Gegenstands durch ein 8-fach vergroesserndes Fernglas E(min) = T*0.1m = 6.4m, oder allgemein
E(min) = T/delta
wobei die Entfernung in Meter herauskommt.
3) Zerstreuungskreis: Ein Gegenstand kann auch dann noch scharf erscheinen, wenn er nicht perfekt im Fokus liegt. Albert Koenig hat angenommen, dass im Alltag eine Punktabbildung, auf einen Zerstreuungskreis von 3.4 Bogenminuten verschmiert, gerade noch den Eindruck einer scharfen Abbildung erlaubt (man beachte, dass die maximale Aufloesung des Auges unter Idealbedingungen bei etwa 1 Bogenminute liegt). Wie Koehler/Koenig in ihrem Buch zeigen, erlaubt diese zulaessige Unschaerfe eine Defokussierung von 1/d' dpt, wobei d' der effektive Pupillendurchmesser (in mm) ist, also der kleinere der beiden Werte: Durchmesser der Augenpupille und Durchmesser der Austrittspupille. Diese Unschaerfe ist auch jenseits Unendlich zulaessig - man darf das Fernglas daher ein wenig kuerzer (hyperfokal) fokussieren, ohne auf ein scharfes Bild im Unendlichen verzichten zu muessen. Die hyperfokale Distanz (in Meter) ergibt sich dann zu E(hyp) = 1000 * T * d'. Am Tage kann man d' = 3mm annehmen und erhaelt z.B. E(hyp) = 192m fuer ein 8x42, E(hyp) = 432m fuer ein 12x50 Fernglas. Ist das Fernglas auf diese Distanz fokussiert, so erhaelt man einen Nahpunkt von
E(min) = T / (delta + 2/d')
wobei d' in mm eingegeben wird, um E(min) in m zu erhalten. Es gilt noch eine Einschraenkung: Falls d' < 2mm, treten Beugungseffekte auf, die wir hier nicht beruecksichtigen wollen.
4. Fokus auf endliche Entfernung: Jetzt nehmen wir an, das Fernglas sei nicht auf die hyperfokale Entfernung, sondern auf die Entfernung E(fok) fokussiert. Das virtuelle Bild dieses Gegenstands liegt jetzt im Unendlichen (also bei 0 dpt), und nicht bei T/E(fok) dpt wie bei der Unendlich-Stellung des Fernglases. Dieser Versatz gibt uns einen Spielraum im Nahbereich, und wir erhalten den neuen Nahpunkt als
E(min) = T / [delta + 1/d' + T/E(fok)]
und den Fernpunkt als
E(max) = T / [T/E(fok) - 1/d']
wobei jeweils der Beitrag vom Zerstreuungskreis mit einbezogen wurde. Falls der Wert [T/E(fok) - 1/d'] zu Null oder gar negativ werden sollte, so liegt der Fernpunkt im Unendlichen. Als Beispiel nehmen wir wieder den 25-jaehrigen mit delta = 10 dpt, 8x Fernglas auf 10m Entfernung fokussiert, und effektive Pupille von d' = 3mm, und erhalten einen Schaerfebereich von
3.8m < E < 10.5m
Bei einem 12x Fernglas haetten wir
5.8m < E < 10.2m
5. Fazit: Ich hoffe, dass die Ueberlegungen aus Teil 4 stimmen (habe ich so in der Literatur nicht finden koennen) - falls ja, kann jetzt jeder herangehen und fuer seine Akkommodationsbreite (leicht nachzumessen!), sein Fernglas und die bevorzugte Einstellentfernung den Bereich der scharfen Abbildung bestimmen. Dieser haengt massgeblich von der Akkommodationsbreite ab, ferner vom Tiefenmassstab (sprich: Quadrat der Vergroesserung) und, in geringerem Masse, von dem Durchmesser der effektiven Austrittspupille.
Viele Gruesse,
Holger Merlitz
